速通量子力学

唏，可以和解吗？

第一章

德布罗意假说

波函数

波函数 描述一个体系的状态。该体系中，粒子在 出现的几率为波函数值的模平方：

常数因子不定性

波函数 与 描述同一种状态，其中 是任意常数

归一性

若波函数满足条件：

则称该波函数为归一化波函数。由于常数因子不定性的存在，任何波函数均可归一化，即：

题目里出现的任何波函数，没说就是没归一化

相位因子不定性

波函数 与 描述同一种状态，因为它们的模平方相同

状态叠加原理

波函数间可以线性叠加，即：

但是显然，对于模平方有：

薛定谔方程

一维自由粒子的波函数

哈密顿算符

引入哈密顿算符：

则薛定谔方程为：

两侧均是求体系能量的算符

几率密度与几率流密度

我也不懂，摆了

定态薛定谔方程

对于一个波函数 ，我们总能将它分离变量为

谁知道为什么，反正就是可以

若 中的势能 与时间 无关，则 也与时间无关

在此情况下，通过波函数分离变量，可求解得到 ，又即：

对应薛定谔方程为：

不含 的方程称为定态方程，由此该方程也称为定态薛定谔方程

势阱

• 列出不同势能区域对应的薛定谔方程（定态的）
• 解出
• 边界条件求定解

一维无限深势阱

在势阱外，，故

在势阱内，有：

令 ，有：

其中 、 为待定常数

由于波函数应连续，应有 ，最终解得：

一维有限深势阱

列出三个区域的波函数：

阱内的粒子处于束缚态，而对于束缚态粒子，总有 ，因此：

其中：

上述方程的通解为：

由于波函数应有限，故 ：

后面的忘了，先这样

三维无限深势阱

(* TODO *)

谐振子

谐振子的波函数：

有一个量子数

式中， 为归一化系数， 为厄米多项式

以下为必须知识点

谐振子能量：

没了（大嘘）

隧穿

第二章

常见算符

以及，角动量：

运算顺序

若算符 与 不对易，则：

线性

厄密

对任意两个函数 与 定义标积：

由此定义，有下列关系存在：

若算符 满足：

则称该算符是厄密的

量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。厄密算符的本征值为实数，故力学量也都是实数

Ex. 本征函数与波函数

算符 的……

• 本征方程：
• 本征函数
• 本征值

本征函数是一个函数系 ，它们是正交归一的，即：

• 任意函数可表示为一个本征函数（系）的线性组合

不同力学量的算符一般有不同的本征函数系，当且仅当算符的本征函数系是同一个，它们才能同时精确求值

一般用 表示本征函数（念作 phi），而用 表示波函数（念作 psi）

力学量的测量

考虑一个体系的正交归一本征函数系

当体系处于本征态时，波函数恰为某一本征函数

当处于一般态（非本征态）时，波函数总可以向 线性展开，此时有：

其中 ，同时有：

力学量仅能对处于本征态的体系进行准确测量，否则，会得到一系列可能的本征值

每次测量，只得到可能取值的一个，测量得到波函数 的本征值的几率为

本征态平均值

现有本征方程

非本征态平均值

现有波函数：

与本征方程

推广到连续谱：

对易与确定值

定义对易子：

当 时，称两算符对易

两个力学量，当且仅当其算符对易时，它们才能同时被准确求值

对易子有以下关系存在：

对易不具有传递性

常见对易子

坐标算符

动量算符

角动量算符

角动量本征方程

考虑由 到 的变换

此处省略一页半球谐函数的推导

本征函数 ，由两个量子数决定

的本征值为

的本征值为

第三章

有心力场定态问题

库仑场中的粒子

氢原子与类氢原子指原子核外仅有一个电子的粒子，如 ，，

考虑原子核带电荷 的类氢原子在库伦场中的势：

其中

由此求得的波函数与能量：

三个量子数，能量只与主量子数 有关。它们的取值范围如下：

反映了有心力场的具体特征

能量的简并度

能量仅与 有关。而对于一个确定的 ， 有 种取值，故其简并度为

氢原子中的电子

在氢原子中，，于是能量：

径向几率分布函数

电子出现在半径 处的几率 ，即：

又即：

最可几半径

电子云密度最大的位置，该半径也称玻尔半径

电子自旋

电子由绕核运动造成轨道磁矩 ，对应于磁量子数

这也是为何角量子数 时，磁量子数 的原因：电子不运动时无电流，不产生磁矩

同时，电子也具有另一种自旋磁矩 ，对应于自旋量子数

自旋角动量与自旋磁矩

电子具有自旋角动量 ，它只能取两个数值

电子具有自旋磁矩 ，且

自旋是电子本身固有的属性，没有经典模型对应，与空间坐标的运算无关

自旋算符

与 ， 与 对应

自旋算符同样有以下关系存在：

本征值

、、 的本征值均为 ，引入自旋量子数 ，则本征值为

的本征值为

事实上，它的本征值和 类似，也是 ，不过因为 的限制成为了定值

第四章

微扰

求哈密顿算符 的本征函数与本征值，考虑一个很小的微扰 ，即

波函数一级近似

其中：

本征值二级近似

一级近似：

二级近似：

$$
E_n = E_n^{(0)} + H’{nn} + \sum{k \ne n} \frac{|H’_{kn}|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}
$$

简并微扰

全同

全同粒子：质量、电荷、自旋、etc. 一切固有性质完全相同的微观粒子

施工中

Ex. 在 Hexo 里写 MathJax

Hexo 写 LaTeX 真是太折磨了哼啊啊啊啊啊啊

喔不对是 MathJax，哼啊啊啊啊啊啊

使用了 hexo-filter-mathjax 插件。同样功能的还有另一个 hexo-math 插件，但它用的是 Hexo 专有语法，所以 pass

在 _config.yml 里配置：

1
2
3
4
5

# Extensions
## Plugins: https://hexo.io/plugins/
## Themes: https://hexo.io/themes/
plugins:
- hexo-filter-mathjax # https://github.com/next-theme/hexo-filter-mathjax

在需要启用 MathJax 的文章的 Front-matter 上加一行 mathjax: true，就这样

然后，如果没有用文档推荐的 hexo-renderer-pandoc，Markdown 语法优先于 MathJax，注意回避或转义，下列要点：

• 使用 \\\\ 而非 \\ 换行
• 行开头使用 -、+、* 可能会与列表语法冲突
• 方括号 [] 可能会让你的内容消失
• (r) 会被替换成 ®，(c) 替换成 ©

Fin.

量子力学哼啊啊啊啊